Wyznaczanie fundamentalnego zbioru rozwiązań równań różniczkowych liniowych jednorodnych drugiego rzędu o stałych współczynnikach

Definicja 1:

Równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym rzędu drugiego o stałych współczynnikach nazywamy równanie postaci

\( a_2y^{\prime\prime}(t)+a_1y^{\prime}(t)+a_0y(t)=0. \)

gdzie \( \hskip 0.3pc a_0,\hskip 0.3pc a_1\hskip 0.3pc a_2\hskip 0.3pc \) są stałymi i \( \hskip 0.3pc a_2\neq 0\hskip 0.3pc \).

Rozwiązania równania ( 1 ) szukamy w postaci funkcji \( \hskip 0.3pc y(t)=e^{\lambda t}\hskip 0.3pc \).

Wtedy, podstawiając \( \hskip 0.3pc y(t)=e^{\lambda t}\hskip 0.3pc \), \( \hskip 0.3pc y^{\prime}(t)=\lambda e^{\lambda t} \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pcy^{\prime\prime}(t)=\lambda^2 e^{\lambda t} \hskip 0.3pc \) do równania ( 1 ) dostajemy

\( a_2\lambda^2 e^{\lambda t} +a_1\lambda e^{\lambda t}+a_0 e^{\lambda t}=0. \)

Dzieląc powyższe równanie przez \( \hskip 0.3pc e^{\lambda t}\hskip 0.3pc \) dostajemy tak zwane równanie charakterystyczne

(2)

\( a_2\lambda^2+a_1\lambda +a_0=0. \)

Zauważmy, że równanie charakterystyczne można otrzymać podstawiając do równania ( 1 ) w miejsce \( \hskip 0.3pc y^{\prime\prime}(t),\hskip 0.3pc y^{\prime}(t),\hskip 0.3pc y(t)\hskip 0.3pc \) odpowiednio \( \hskip 0.3pc \lambda ^2,\hskip 0.3pc \lambda,\hskip 0.3pc 1\hskip 0.3pc \).
Równanie kwadratowe może mieć deltę dodatnią, równą zeru lub ujemną.
Gdy \( \hskip 0.3pc \Delta >0\hskip 0.3pc \) wtedy równanie ( 2 ) ma dwa różne rzeczywiste pierwiastki

\( \lambda_1=\frac{-a_1-\sqrt{a_1^2-4a_0a_2}}{2a_2}, \hskip 1pc \lambda_2=\frac{-a_1+\sqrt{a_1^2-4a_0a_2}}{2a_2}. \)

Mamy wtedy dwie funkcje będące rozwiązaniem równania ( 1 )

\( y_1(t)=e^{\lambda _1t} \hskip 1pc {\rm i} \hskip 1pc y_2(t)=e^{\lambda _2t}. \)

Funkcje te są liniowo niezależne, więc rozwiązanie ogólne równania ( 1 ) ma w tym przypadku postać

\( y(t)=c_1y_1(t)+c_2y_2(t)=c_1e^{\lambda _1t}+c_2e^{\lambda _2t}. \)

Gdy \( \hskip 0.3pc \Delta =0\hskip 0.3pc \) wtedy równanie ( 2 ) ma jeden pierwiastek rzeczywisty \( \hskip 0.3pc \lambda =-\frac{a_1}{2a_2}.\hskip 0.3pc \)
Funkcja \( \hskip 0.3pc y_1(t)=e^{\lambda t}\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 2 ). Drugie liniowo niezależne rozwiązanie wyznaczamy na podstawie twierdzenia Liouville'a i ma postać

\( y_2(t)=e^{\lambda t}\displaystyle\int \dfrac{e^{-\int \dfrac{a_1}{a_2} dt}}{e^{2\lambda t}}dt=e^{\lambda t}\displaystyle\int \dfrac{e^{-\dfrac{a_1}{a_2}t}}{e^{2\lambda t}}dt=e^{\lambda t}\displaystyle\displaystyle\int \frac{e^{2\lambda t}}{e^{2\lambda t}}dt=e^{\lambda t}\int dt=e^{\lambda t}t. \)

Rozwiązanie ogólne równania ( 1 ) ma w tym przypadku postać

\( y(t)=c_1y_1(t)+c_2y_2(t)=e^{\lambda t}(c_1+tc_2). \)

Gdy \( \hskip 0.3pc \Delta <0\hskip 0.3pc \) wtedy równanie ( 2 ) ma dwa różne pierwiastki zespolone wzajemnie sprzężone

\( \lambda_1=-\frac{a_1}{2a_2}-\frac{\sqrt{4a_0a_2-a_1^2}}{2a_2}i, \hskip 1pc \lambda_2=-\frac{a_1}{2a_2}+\frac{\sqrt{4a_0a_2-a_1^2}}{2a_2}i. \)

Wtedy mamy dwie funkcje będące rozwiązaniem równania ( 1 )

\( y_1(t)=e^{\lambda _1t} \hskip 1pc {\rm i} \hskip 1pc y_2(t)=e^{\lambda _2t}. \)

Funkcje te są liniowo niezależne. Zatem rozwiązanie ogólne równania ( 1 ) ma w tym przypadku postać

\( y(t)=c_1e^{\lambda _1t}+c_2e^{\lambda _2t}. \)

Niedogodnością tego przedstawienia jest to, że funkcje \( \hskip 0.3pc y_1(t)\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc y_2(t)\hskip 0.3pc \) są funkcjami o wartościach zespolonych.
Wyznaczymy teraz liniowo niezależne funkcje o wartościach rzeczywistych, spełniające równanie ( 1 ).
W celu uproszczenia zapisów wprowadzamy następujące oznaczenia

\( \alpha=-\frac{a_1}{2a_2}, \hskip 1pc \beta=\frac{\sqrt{4a_0a_2-a_1^2}}{2a_2}. \)

Wtedy pierwiastki \( \hskip 0.3pc \lambda_1,\hskip 0.3pc \lambda_2\hskip 0.3pc \) możemy zapisać następująco

\( \lambda_1=\alpha -\beta i,\hskip 1pc \lambda_2=\alpha +\beta i. \)

W dalszym rozumowaniu będziemy korzystać z następującej zależności Eulera

\( e^{\theta i}=\cos \theta +i\sin \theta, \hskip 1pc \theta\in\mathbb{R}. \)

Stąd mamy, że

\( y_1(t)=e^{\lambda_1 t}=e^{(\alpha -i\beta) t}=e^{\alpha t}e^{ -i\beta t}=e^{\alpha t}(\cos (\beta t)-i\sin(\beta t)) \)

\( y_2(t)=e^{\lambda_2 t}=e^{(\alpha +i\beta) t}=e^{\alpha t}e^{ i\beta t}=e^{\alpha t}(\cos (\beta t)+i\sin(\beta t)). \)

Na podstawie twierdzenia 1 dowolna kombinacja liniowa rozwiązań równania ( 1 ) jest rozwiązaniem tego równania, stąd następujące funkcje są rozwiązaniami równania ( 1 ).

\( Y_1(t)=\frac{1}{2}y_1(t)+\frac{1}{2}y_2(t)=e^{\alpha t}\cos (\beta t) \)

\( Y_2(t)=\frac{i}{2}y_1(t)-\frac{i}{2}y_2(t)=e^{\alpha t}\sin (\beta t). \)

Na podstawie wniosku 3 funkcje te są liniowo niezależne.
Zatem rozwiązanie ogólne równania ( 1 ) w tym przypadku ma postać

\( y(t)=e^{\alpha t}(c_1\cos (\beta t)+c_2\sin (\beta t)). \)

Przykład 1:

Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania

\( y^{\prime\prime}(t)-3y^{\prime}(t)+2y(t)=0. \)

Równanie charakterystyczne dla tego równania jest następujące

\( \lambda ^2-3\lambda +2=0. \)

Pierwiastkami tego równania są \( \hskip 0.3pc \lambda_1=1\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \lambda_2=2\hskip 0.3pc \) .
Zatem rozwiązanie ogólne ma postać

\( y(t)=c_1e^t+c_2e^{2t}. \)

Przykład 2:

Wyznaczyć rozwiązanie problemu początkowego

\( y^{\prime\prime}(t)-4y^{\prime}(t)+4y(t)=0, \hskip 1pc y(0)=1, \hskip1pc y^{\prime}(0)=4. \)

Równanie charakterystyczne dla tego równania jest następujące

\( \lambda ^2-4\lambda +4=0. \)

Równanie to ma tylko jeden pierwiastek \( \hskip 0.3pc \lambda =2.\hskip 0.3pc \) Stąd rozwiązanie ogólne jest postaci

\( y(t)=e^{2t}(c_1+c_2t). \)

Ponieważ

\( y^{\prime}(t)=2e^{2t}(c_1+c_2t)+e^{2t}c_2=e^{2t}(2c_1+c_2+2c_2t), \)

więc z warunków początkowych dostajemy następujący układ równań

\( 1=y(0)=c_1, \hskip 1pc 4=y^{\prime}(0)=2c_1+c_2, \)

którego rozwiązaniem jest \( \hskip 0.3pc c_1=1\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc c_2=2\hskip 0.3pc \).
Zatem rozwiązaniem problemu początkowego jest funkcja

\( y(t)=e^{2t}(2t+1). \)

Przykład 3:

Znaleźć rozwiązanie problemu początkowego

\( y^{\prime\prime}(t)-4y^{\prime}(t)+5y(t)=0, \hskip1pc y(0)=-1, \hskip 1pc y^{\prime}(0)=2. \)

Równanie charakterystyczne ma postać

\( \lambda ^2-4\lambda +5=0. \)

Równanie to ma dwa pierwiastki zespolone \( \hskip 0.3pc \lambda_1 =2-i\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \lambda_2 =2+i\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc \alpha =2,\hskip 0.3pc \beta=1. \)
Zatem rozwiązanie ogólne ma postać

\( y(t)=e^{2t}(c_1\cos t+c_2\sin t). \)

Ponieważ

\( \begin{aligned} y^{\prime}(t)=&2e^{2t}(c_1\cos t+c_2\sin t)+e^{2t}(-c_1\sin t+c_2\cos t) = \\&e^{2t}\left((2c_1+c_2)\cos t+(2c_2-c_1)\sin t\right), \end{aligned} \)

więc z pierwszego warunku początkowego dostajemy

\( -1=y(0)=e^{2\cdot 0}(c_1\cos 0+c_2\sin 0)=c_1, \)

zaś z drugiego warunku początkowego mamy

\( 2=y^{\prime}(0)=e^{2\cdot 0}\left[(2c_1+c_2)\cos 0+(2c_2-c_1)\sin 0\right]=2c_1+c_2. \)

Stąd wynika, że \( \hskip 0.3pc c_1=-1\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc c_2=4\hskip 0.3pc \).
Zatem rozwiązanie problemu początkowego jest postaci

\( y(t)=e^{2t}(-\cos t+4\sin t). \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Wyznaczanie fundamentalnego zbioru rozwiązań równań różniczkowych liniowych jednorodnych drugiego rzędu o stałych współczynnikach

Definicja 1:

Przykład 1:

Przykład 2:

Przykład 3: